Objectifs – acquis d’apprentissage
- Acquérir une aisance de calcul avec les nombres complexes.
- Percevoir le lien entre géométrie plane et nombres complexes.
Prérequis
Aucun.
Contenu pédagogique
Géométrie plane
- Plan euclidien, points droites. Orientation. Angles (orientés) et distances. Produit scalaire.
- Transformations classiques du plan euclidien et leurs compositions : translations,
réflexions orthogonales, symétries centrales, rotations, projections orthogonales sur une droite. Homothéties. Similitudes directes et indirectes. Théorèmes classiques de géométrie : Pythagore, Thalès, Al-Kashi, relations métriques dans le triangle. - Triangles. Points, droites et cercles remarquables d’un triangle. Triangles semblables, critère de similitude.
- Repérage des points dans le plan : coordonnées cartésiennes. Produit scalaire en coordonnées cartésiennes. Calculs en coordonnées : paramétrages et équations de droites et cercles. Changement de repère.
- Coordonnées polaires.
Nombres complexes
- Théorie algébrique. Somme et produit dans R^2, notation C. Partie réelle et imaginaire. Conjugaison et module, règles de calcul, inégalité triangulaire. Calcul des racines carrées complexes d’un nombre complexe sous forme algébrique. Racines de trinômes à coefficients complexes. Somme et produit des racines.
- Interprétation géométrique. Affixe d’un point, d’un vecteur; point et vecteur associé à un complexe. Interprétation de |a-b|, distance, cercles et disques.
- Congruences modulo un réel non nul. Somme et produits de congruences. Application : équations trigonométriques (les fonctions trigonométriques sont supposées connues).
- Arguments et exponentielle complexe. Arguments d’un produit et d’un quotient. Factorisation de e^{ix}+e^{iy}.
- Nombres complexes de module un. Racines de l’unité. Somme et produit des racines n-èmes.
- Similitudes planes. Écriture en coordonnée complexe des transformations classiques : translations, rotations, homothéties, réflexions orthogonales, similitudes directes et indirectes.