Semestre 1 – Option – Fondements mathématiques

Objectifs – acquis d’apprentissage

Acquérir une aisance avec les objets de base des mathématiques et du raisonnement.

Prérequis

Aucun.

Contenu pédagogique

Logique : Généralités sur le langage de raisonnement mathématique. Éléments de logique : calcul des prédicats, calcul des propositions. Utilisation des connecteurs et des quantificateurs dans le discours mathématique. Pratique du raisonnement mathématique : hypothèses, conclusion, raisonnement par contraposition, par disjonction de cas, par l’absurde, par récurrence, par analyse-synthèse. Vérification et utilisation d’une définition et d’un théorème. L’exemple des groupes et des morphismes de groupes sera traité.

Théorie des ensembles : appartenance, réunion, intersection, complémentarité et produit cartésien de deux ensembles ou d’une famille d’ensembles.Lien avec les connecteurs et les quantificateurs.

Applications : définition, composition, image directe, image réciproque, applications injectives, surjectives, bijectives, ensembles équipotents.

Combinatoire : Notion de cardinal, premières propriétés des cardinaux (inclusion, réunion). Nombres d’applications, de bijections de E dans F. Coefficients binômiaux, formule de Pascal, triangle de Pascal.

Sommes, produits. Sommes doubles, sommes télescopiques, géométriques, arithmétiques. Formule du binôme de Newton.