Semestre 1 – Calculs et mathématiques

Objectifs – acquis d’apprentissage

Acquérir bases de calcul de solutions d’équations, d’équations différentielles.

Résoudre un système linéaire.

Prérequis

Aucun.

 Contenu pédagogique

  • Vocabulaire élémentaire pour l’étude de fonctions réelles
  • Fonctions usuelles
  • Primitives usuelles
  • Équations différentielles linéaires
  • Fonctions trigonométriques réciproques, trigonométriques hyperboliques réciproques
  • Systèmes linéaires
  • Polynômes

Contenu pédagogique de l’UE

    1. Vocabulaire élémentaire pour l’étude de fonctions réelles
      • Sous-ensembles de R, intervalles ouverts et fermés, unions, intersections, complémentaires.
      • Domaine de définition d’une expression comportant une inconnue réelle.
      • Fonctions réelles définies sur une partie de R.
      • Équations, inconnues, ensemble de solutions d’une équation.
      • Méthodes de résolution d’une équation par équivalences, analyse-synthèse, disjonction de cas.
    2. Fonctions usuelles
      • Inégalités dans R et règles de calcul. Fonctions croissantes.
      • Parité, imparité. Périodicité. Symétries du graphe d’une fonction. Fonction dont le graphe est
        le translaté du graphe d’une fonction donnée.
      • Valeur absolue, inégalité triangulaire.
      • Racine carrée, exponentielle et logarithme.
      • Rappels sur les fonctions cosinus et sinus, symétries de leurs graphes. Fonction tangente.
      • Formules de trigonométrie. Linéarisation. Écriture de la somme de sinusoïdes comme produit
        de cosinus, passage d’une forme L.cos(omega.t)+M.sin(omega.t) à une forme A.cos(omega.t+phi).
      • Puissances réelles d’un réel strictement positif. Exponentielle et logarithme de base a>0.
      • Fonctions trigonométriques hyperboliques.
      • Résolution d’inéquations.
      • Composition des fonctions. Dérivée d’une composée.
      • Étude de fonctions. Limites usuelles. Asymptotes obliques.
      • Théorème de la bijection.
    3. Primitives usuelles
      • Primitives. Intégrale sur un segment.
      • Intégration par parties.
      • Changement de variable.
    4. Équations différentielles linéaires
      • Équations d’ordre un. Variation de la constante.
      • Équations d’ordre deux à coefficients constants à second membre de la forme P(x)e^(ax)cos(bx) ou P(x)e^(ax)sin(bx).
    5. Fonctions trigonométriques réciproques, trigonométriques hyperboliques réciproques
      • Applications aux primitives.
    6. Systèmes linéaires
      • Algorithme de mise sous forme échelonnée.
      • Paramétrage de l’ensemble des solutions.
      • Interprétation géométrique : intersections de droites du plan, de plans dans l’espace.
    7. Polynômes
      • Degré, division euclidienne, racines, équivalence P(a)=0 et (X-a) divise P.
      • Polynôme dérivé. Caractérisation par le polynôme dérivé des racines simples et des racines
        au moins doubles. L’étude générale des racines multiples et de leur multiplicité n’est pas
        traité ce semestre.
      • Fonctions polynomiales et rationnelles.
      • Décomposition des fractions rationnelles dans des cas simples. On ne traitera pas le théorème général de décomposition des fractions rationnelles en éléments simples, qui sera vu ultérieurement.
      • Applications aux primitives et aux équations différentielles.