Semestre 1 – Calculs et mathématiques

Objectifs – acquis d’apprentissage

Acquérir bases de calcul de solutions d’équations, d’équations différentielles.

Résoudre un système linéaire.

Compétences visées

Résoudre des équations (linéaires, algébriques, différentielles) de façon exacte et par des méthodes numériques.

Se servir aisément de la notion d’approximation en s’appuyant sur les notions d’ordre de grandeur, de limite, de norme, de comparaison asymptotique.

Prérequis

Aucun.

 Contenu pédagogique

  • Vocabulaire élémentaire pour l’étude de fonctions réelles
  • Fonctions usuelles
  • Primitives usuelles
  • Équations différentielles linéaires
  • Fonctions trigonométriques réciproques, trigonométriques hyperboliques réciproques
  • Systèmes linéaires
  • Polynômes

Contenu pédagogique de l’UE

    1. Vocabulaire élémentaire pour l’étude de fonctions réelles
      • Sous-ensembles de R, intervalles ouverts et fermés, unions, intersections, complémentaires.
      • Domaine de définition d’une expression comportant une inconnue réelle.
      • Fonctions réelles définies sur une partie de R.
      • Équations, inconnues, ensemble de solutions d’une équation.
      • Méthodes de résolution d’une équation par équivalences, analyse-synthèse, disjonction de cas.
    2. Fonctions usuelles
      • Inégalités dans R et règles de calcul. Fonctions croissantes.
      • Parité, imparité. Périodicité. Symétries du graphe d’une fonction. Fonction dont le graphe est
        le translaté du graphe d’une fonction donnée.
      • Valeur absolue, inégalité triangulaire.
      • Racine carrée, exponentielle et logarithme.
      • Rappels sur les fonctions cosinus et sinus, symétries de leurs graphes. Fonction tangente.
      • Formules de trigonométrie. Linéarisation. Écriture de la somme de sinusoïdes comme produit
        de cosinus, passage d’une forme L.cos(omega.t)+M.sin(omega.t) à une forme A.cos(omega.t+phi).
      • Puissances réelles d’un réel strictement positif. Exponentielle et logarithme de base a>0.
      • Fonctions trigonométriques hyperboliques.
      • Résolution d’inéquations.
      • Composition des fonctions. Dérivée d’une composée.
      • Étude de fonctions. Limites usuelles. Asymptotes obliques.
      • Théorème de la bijection.
    3. Primitives usuelles
      • Primitives. Intégrale sur un segment.
      • Intégration par parties.
      • Changement de variable.
    4. Équations différentielles linéaires
      • Équations d’ordre un. Variation de la constante.
      • Équations d’ordre deux à coefficients constants à second membre de la forme P(x)e^(ax)cos(bx) ou P(x)e^(ax)sin(bx).
    5. Fonctions trigonométriques réciproques, trigonométriques hyperboliques réciproques
      • Applications aux primitives.
    6. Systèmes linéaires
      • Algorithme de mise sous forme échelonnée.
      • Paramétrage de l’ensemble des solutions.
      • Interprétation géométrique : intersections de droites du plan, de plans dans l’espace.
    7. Polynômes
      • Degré, division euclidienne, racines, équivalence P(a)=0 et (X-a) divise P.
      • Polynôme dérivé. Caractérisation par le polynôme dérivé des racines simples et des racines
        au moins doubles. L’étude générale des racines multiples et de leur multiplicité n’est pas
        traité ce semestre.
      • Fonctions polynomiales et rationnelles.
      • Décomposition des fractions rationnelles dans des cas simples. On ne traitera pas le théorème général de décomposition des fractions rationnelles en éléments simples, qui sera vu ultérieurement.
      • Applications aux primitives et aux équations différentielles.