Semestre 1 – Option – Fondements mathématiques

Objectifs – acquis d’apprentissage

Acquérir une aisance avec les objets de base des mathématiques et du raisonnement.

Compétences visées

Se servir aisément des bases de la logique pour organiser un raisonnement mathématique et rédiger de manière synthétique et rigoureuse.

Prérequis

Aucun.

Contenu pédagogique

Logique : Généralités sur le langage de raisonnement mathématique. Éléments de logique : calcul des prédicats, calcul des propositions. Utilisation des connecteurs et des quantificateurs dans le discours mathématique. Pratique du raisonnement mathématique : hypothèses, conclusion, raisonnement par contraposition, par disjonction de cas, par l’absurde, par récurrence, par analyse-synthèse. Vérification et utilisation d’une définition et d’un théorème. L’exemple des groupes et des morphismes de groupes sera traité.

Théorie des ensembles : appartenance, réunion, intersection, complémentarité et produit cartésien de deux ensembles ou d’une famille d’ensembles.Lien avec les connecteurs et les quantificateurs.

Applications : définition, composition, image directe, image réciproque, applications injectives, surjectives, bijectives, ensembles équipotents.

Combinatoire : Notion de cardinal, premières propriétés des cardinaux (inclusion, réunion). Nombres d’applications, de bijections de E dans F. Coefficients binômiaux, formule de Pascal, triangle de Pascal.

Sommes, produits. Sommes doubles, sommes télescopiques, géométriques, arithmétiques. Formule du binôme de Newton.