Semestre 1 – Option – Nombres complexes et géométrie

Objectifs – acquis d’apprentissage

  • Acquérir une aisance de calcul avec les nombres complexes.
  • Percevoir le lien entre géométrie plane et nombres complexes.

Compétences visées

Mettre en œuvre une intuition géométrique.

Prérequis

Aucun.

Contenu pédagogique

Géométrie plane

  • Plan euclidien, points droites. Orientation. Angles (orientés) et distances. Produit scalaire.
  • Transformations classiques du plan euclidien et leurs compositions : translations,
    réflexions orthogonales, symétries centrales, rotations, projections orthogonales sur une droite. Homothéties. Similitudes directes et indirectes. Théorèmes classiques de géométrie : Pythagore, Thalès, Al-Kashi, relations métriques dans le triangle.
  • Triangles. Points, droites et cercles remarquables d’un triangle. Triangles semblables, critère de similitude.
  • Repérage des points dans le plan : coordonnées cartésiennes. Produit scalaire en coordonnées cartésiennes. Calculs en coordonnées : paramétrages et équations de droites et cercles. Changement de repère.
  • Coordonnées polaires.

Nombres complexes

  • Théorie algébrique. Somme et produit dans R^2, notation C. Partie réelle et imaginaire. Conjugaison et module, règles de calcul, inégalité triangulaire. Calcul des racines carrées complexes d’un nombre complexe sous forme algébrique. Racines de trinômes à coefficients complexes. Somme et produit des racines.
  • Interprétation géométrique. Affixe d’un point, d’un vecteur; point et vecteur associé à un complexe. Interprétation de |a-b|, distance, cercles et disques.
  • Congruences modulo un réel non nul. Somme et produits de congruences. Application : équations trigonométriques (les fonctions trigonométriques sont supposées connues).
  • Arguments et exponentielle complexe. Arguments d’un produit et d’un quotient. Factorisation de e^{ix}+e^{iy}.
  • Nombres complexes de module un. Racines de l’unité. Somme et produit des racines n-èmes.
  • Similitudes planes. Écriture en coordonnée complexe des transformations classiques : translations, rotations, homothéties, réflexions orthogonales, similitudes directes et indirectes.